«Non è che ci sia davvero un concetto di impossibile in matematica».
Alla ricerca di spunti per scrivere questo pezzo, avevo chiesto a un mio amico matematico cosa fosse per lui l’impossibile, ma la sua risposta lapidaria ha finito per rimettere in discussione l’intera questione.
In matematica si incontrano spesso oggetti che non possono esistere.
Pensiamo ai numeri reali, ossia a tutti quei numeri che si possono rappresentare come una sequenza qualsiasi di cifre, con o senza la virgola, con o senza un segno meno davanti: 2, -17, 3,141592… Nell’insieme dei numeri reali R, le radici quadrate dei numeri negativi non esistono. È impossibile trovare in R un numero che moltiplicato per sé stesso dia -4.
Questa limitazione divenne evidente nel Cinquecento, quando i matematici italiani Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli si resero conto che per trovare tutte le soluzioni alle equazioni che stavano studiando era necessario considerare una nuova entità, il cui quadrato fosse un numero negativo: i∙i = -1. La cosiddetta unità immaginaria non può esistere in R, e così, per intuito o per ingegno (e qui si potrebbe aprire l’eterno dibattito se la matematica venga scoperta o inventata), nei secoli a venire il concetto di numero venne esteso, creando (o scoprendo) l’insieme dei numeri complessi C, in cui anche -4 ha una radice quadrata, 2i.
L’algebra non è l’unico terreno in cui il passare del tempo ha ridisegnato i confini del possibile. Nel III secolo a.C., in un’opera immensa nota come Gli Elementi, il matematico greco Euclide ha assiomatizzato e dimostrato tutta la geometria conosciuta all’epoca. Il suo quinto postulato afferma che in un piano, dato un punto P e una retta r, esiste una e una sola retta r’ che passa per il punto P ed è parallela a r.
Nell’Ottocento, cercando di dimostrare la validità del postulato euclideo, diversi matematici si resero conto che era possibile costruire nuove geometrie, in cui un punto P e una retta r non ammettessero una parallela r’.
Un esempio è la superficie terrestre. Se camminiamo sulla Terra procedendo sempre dritti davanti a noi, non tracciamo una linea infinita, ma una linea che torna al punto di partenza: su una sfera, le rette sono le cosiddette circonferenze di raggio massimo, come l’equatore e i meridiani. Consideriamo allora l’equatore come la nostra retta r e il Polo Nord come il nostro punto P. In questo modello, qualsiasi retta che passa per il Polo Nord coincide con un meridiano. Ma ogni meridiano a un certo punto interseca l’equatore. Non esiste, quindi, alcuna retta che passi per P e sia parallela a r.
Ecco di nuovo che basta cambiare le regole del gioco per fare sparire il concetto di impossibile.
Per aggiungere un ultimo tassello a questa riflessione chiamiamo in causa il matematico austriaco Kurt Gödel.
La fine dell’Ottocento e l’inizio del Novecento avevano rappresentato per la matematica, come per tante altre discipline, la massima espressione del Positivismo: personaggi come Peano, Zermelo e Fraenkel avevano iniziato a studiare i fondamenti teorici e logici che reggono la disciplina, definendo e deducendo, a suon di assiomi e teoremi, l’intero edificio matematico. David Hilbert, dal canto suo, aveva rimodernizzato gli assiomi della geometria di Euclide, fornendo un primo esempio di applicazione del metodo assiomatico-deduttivo contemporaneo. Nel 1930, durante una conferenza, lo stesso Hilbert si era spinto a pronunciare il suo famosissimo «Wir müssen wissen, wir werden wissen» («Dobbiamo conoscere, conosceremo»), un’ode alla capacità umana di determinare, dedurre e dimostrare. Hilbert era convinto di poter formalizzare tutta la matematica in un sistema perfetto di assiomi e teoremi coerente e, soprattutto, dimostrabilmente tale.
In questa cornice, Kurt Gödel è un promettente studioso poco più che ventenne. Nel 1930 si trova a Vienna, dove ha conseguito il dottorato. Appassionato di quel confine labile che spalanca il dibattito se la matematica sia la scienza più teorica o la filosofia più formalizzata, Gödel è stuzzicato dall’ambizioso programma di Hilbert, così stuzzicato da volere (e in seguito, riuscire a) confutarlo.
Nel suo secondo teorema di incompletezza, infatti, dimostra che se un sistema di assiomi è coerente (cioè non contiene contraddizioni), allora è impossibile verificare la sua coerenza usando solo gli strumenti del sistema stesso. Gödel mostra che la matematica non è un edificio chiuso e autosufficiente: per validare le regole del gioco è necessario uscire dal gioco, allargare la teoria, aggiungere nuovi elementi.
«Non è che ci sia davvero un concetto di impossibile in matematica».
In un senso strettamente formale, forse ha ragione il mio amico. In matematica, dire che qualcosa è impossibile significa dire che è incompatibile con le circostanze in cui ci troviamo. Se usiamo le regole dei numeri reali, i = -1 non esiste, ma addentrandoci in C l’unità immaginaria diventa un concetto elementare. Allo stesso modo, il postulato di Euclide definisce un modello di geometria, ma curvando lo spazio si possono creare geometrie in cui le parallele non esistono. E se Gödel afferma che un sistema non può dimostrare la sua coerenza, l’unica via di uscita è estendere i confini del sistema stesso. Ma anche il sistema più ampio avrà le sue regole, che non si possono validare dall’interno e che richiederanno, per la loro validazione, un sistema più ampio ancora. E così via.
L’impossibile, insomma, non viene mai eliminato, viene solo spostato un gradino più in là. Rappresenta un confine scritto a matita, che il tempo, le circostanze e l’inesorabile talento della matematica di mettersi costantemente in discussione cancellano e riscrivono, ridefinendo di volta in volta le regole del gioco.